In Kazincbarcika, Ungarn geboren, erhielt Domonkos Barna seinen ersten Cellounterricht im Alter von 7 Jahren von seiner Mutter. Nach dem Konservatorium in Györ absolvierte er sowohl ein Diplom für Kammermusik Im Institut für Musik Bela Bartok in Miskolc als auch ein künstlerisches Diplom an der Hochschule für Künste in Bremen bei Prof. Alexander Baillie.
Die Leidenschaft für sein Instrument führte Domonkos als Orchestermusiker und Solist durch ganz Europa und er spielte bisher in verschiedensten Orchestern in Deutschland, unter anderen bei der Jungen Deutschen Philharmonie, den Göttinger Symphonikern, dem Staatsorchester Braunschweig, der Bremer Philharmoniker und der Philharmonie der Nationen. Durch seine Musikalität und Charisma ist Domonkos Barna außerdem oft bei Schauspielproduktionen des Theaters Bremen, des Düsseldorfer Schauspielhaus und beim Staatstheater Oldenburg als Cellist auf der Bühne zu Gast.
Domonkos ist der Solocellist der Klassischen Philharmonie Nordwest und ein Gründungsmitglied des Ensembles „Prométhée“.